Experimental designs with multiple factors

자, 그동안은 하나의 factor에 대해서 CRD를 행하는 방법을 알아봤는데

현실은 그렇게 쉽지 않으니까

여러 factors로 실험 설계하는 방법을 알아봅시다.

두 가지 방법이 있는데

1. One-at-a-time design

2. Factorial design

 

예를 들어서 네 개의 레벨을 각각 가지고 있는 2 factors가 있다고 가정해봅시다

One-at-a-time design은 다른 상수를 모두 고정하고 각 factor를 계산하는데, 3*8+3*8+8 = 56번 실행해야한다.

즉, 각 조합에서 8개의 replicates가 발생한다

Factorial design에서는 각 셀에서 2개의 replicates가 발생하기 때문에,

예를 들어 1번 factor에서 2*2*2*2 = 16가지의 모든 경우의 수에, 

factor가 두개니까 16*2 = 32번을 실행해야 함

사실 계산은 R이 해주니까 Factorial design이 항상 더 효율적인 것만 알면 된다고 함.

 

그래서 이걸로 뭘하려고 하냐?

응답변수를 최대화하는 factor 조합을 찾는 것임

 

Interaction

두 변수 사이의 joint effect라고도 하는데, 다른 factor의 레벨에 따라 반응변수가 달라지는 변수의 효과라고 한다

현실에서는 당연히 비일비재하게 일어나는데 앞에서 얘기한 

one-at-a-time design에서는 interaction이 없다고 가정한다.

 

그러다보니 당연히 factorial experiment를 좀 더 적용할 가능성이 높아짐

이 실험도 

1. Mean model

$$ y_{ijk} = μ_{ij} + ϵ_{ijk} $$

i = 첫번째 factor의 레벨 수

j = 두번째 factor의 레벨 수

k = replicates의 수

 

2. treatment effect model로 나누어지는데

\( y_{ijk} = μ + α_i + β_j + γ_{ij} + ϵ_{ijk} \)

\( \alpha_i + \beta_j \) : 주요 treatment effects

\( \gamma_{ij} \) : 상호작용 효과

 

두 개의 결과는 결국 값이 동일해지지만 treatment effect model이 좀 더 general 한 것!

 

treatment effects 모델을 계산하려면 full rank라서 역행렬이 존재해야하는데

앞서 treatment 모델은 full rank가 아니라고 배웠다. 

그래서 full rank로 만들어주려고

첫번째 레벨을 다 없애줌. 

 

 

 

 

=>

 

 

 

 

 

 

위와 아래의 행렬을 비교해보면 \(  \alpha_1, \beta_1 \) 등이 사라진 것을 볼 수 있다.

이러면서 새로운 행렬  \(  X^T X \) 행렬이 만들어지는데

이 행렬은 full rank가 되면서 invertible이 된다.

 

 

 

 

Generalised Inverse

A를 정방행렬이라고 하자. 그러면 A의 g-inv가 \( A^-\)이고, 따라서 \( A A^- A = A \) 인데

AGA = A가 되게 하는 G가 존재한다고 할 때, 이 G를 \( G = A^- = (X^T X)^-\)라고 하자

이 때, G는 정방행렬이고,

projection matrix 또는 hat matrix라는 \(H_x = XGX^T \)라 할 때

H_x X = X가 된다 (왜냐하면 \( G = (X^T X)^-\) 라서)

그리고 이 H는 G랑 상관없이 안변하고 대칭이다.

모든 행렬이 X와 관계있으므로, \( rank(H_x) = rank(XGX^T) = rank(X) \)가 된다.

 

이 projection matrix \(H_x\)에 대하여 조금 더 알아보도록 하자.

 

공식이 많은 관계로 동영상 첨부함.